Χ² (Chi-square): πότε, πώς και τι αναφέρω

Οι Καθηγητές του panepistimiaka-frontistiria.gr είναι εδώ για να σας βοηθήσουν σε όλες τις εργασίες σας, σε όλες τις ειδικότητες και ακαδημαϊκές βαθμίδες.

Για Δωρεάν Κοστολόγηση Εργασίας χρησιμοποιήστε τον παρακάτω σύνδεσμο:

Θέλω δωρεάν κοστολόγηση εργασίας

📧 Email: info@panepistimiaka-frontistiria.gr

📞 Τηλέφωνο: 210 300 2036

Μήπως αναρωτιέστε πότε ένα test για κατηγορικά δεδομένα δίνει αξιόπιστες απαντήσεις;

Στον οδηγό αυτό θα εξηγήσουμε με απλά βήματα τι είναι το Χ² και πότε το χρησιμοποιούμε. Το chi-square test ελέγχει τη διαφορά ανάμεσα σε παρατηρούμενες και αναμενόμενες συχνότητες. Το εφαρμόζουμε σε έρευνες αγοράς, υγείας και κοινωνικές επιστήμες, όταν οι μεταβλητές είναι ονομαστικές ή διατακτικές.

Θα δείξουμε πώς ορίζουμε την H0/H1, πώς υπολογίζουμε τις expected συχνότητες, το στατιστικό Χ², τους βαθμούς ελευθερίας και την απόφαση με p-value ή κρίσιμη τιμή.

Επίσης θα καλύψουμε τα είδη test (independence, goodness-of-fit, homogeneity), προϋποθέσεις εγκυρότητας και εναλλακτικές όπως Fisher’s exact.

Για βοήθεια, επικοινωνήστε μαζί μας: Τηλ. 2103002036 — Email: info@panepistimiaka-frontistiria.gr. Δωρεάν κοστολόγηση: https://panepistimiaka-frontistiria.gr/form/

Βασικά Συμπεράσματα

Το Χ² βοηθά στην ανάλυση κατηγορικών δεδομένων και στην αξιολόγηση διανομής (distribution).
Θα μάθουμε πότε επιλέγουμε independence, goodness-of-fit ή homogeneity test.
Θα δείξουμε σαφή How‑To: H0/H1, α, expected, Χ², df, p-value.
Θα αναλύσουμε προϋποθέσεις εγκυρότητας και εναλλακτικές λύσεις.
Θα καλύψουμε power & sample size με Cohen’s w και εργαλεία όπως G*Power.

Τι είναι το τεστ Χ² και γιατί το χρησιμοποιούμε στο σήμερα

Το τεστ Χ² μετράει πόσο οι παρατηρούμενες συχνότητες αποκλίνουν από εκείνες που θα περιμέναμε αν ίσχυε η μηδενική υπόθεση. Η βασική φόρμουλα είναι Χ²=Σ((O−E)²/E) και η λογική observed vs expected είναι ο πυρήνας κάθε ελέγχου.

Διαισθητική εξήγηση: παρατηρούμενα vs αναμενόμενα

Σε γενικές γραμμές, στο χι-τεστ κοιτάμε πόσο αποκλίνουν οι O από τις E. Αν οι αποκλίσεις είναι μεγάλες, το test δείχνει πιθανή συστηματική διαφορά.

Πότε μιλάμε για κατηγορικά δεδομένα και γιατί δεν είναι κανονικά

Τα categorical variables έχουν λίγες διακριτές τιμές. Μετρούν counts, όχι συνεχή μεγέθη, γι’ αυτό δεν ακολουθούν normal distribution.

Χρήσεις σήμερα: marketing segmentation, HR analytics, επιδημιολογία, πολιτική ανάλυση.
Προϋποθέσεις: επαρκή counts, ανεξάρτητες παρατηρήσεις, λογικά αναμενόμενα μεγέθη.
Χαρακτηριστικό: μη παραμετρικό test — δεν απαιτεί κανονικότητα.

Η απλή ιδέα: συγκρίνουμε τι βλέπουμε με τι θα περιμέναμε, και αποφασίζουμε αν η διαφορά είναι τυχαία.

Στο επόμενο μέρος συνδέουμε αυτή τη λογική με τις υποθέσεις H0/H1 και τη διαδικασία λήψης απόφασης.

Βασικές έννοιες υπόθεσης: null hypothesis και alternative hypothesis

Σε αυτό το μέρος διευκρινίζουμε τι εννοούμε με τις υποθέσεις H0 και H1 πριν προχωρήσουμε σε πρακτικά τεστ.

Η μηδενική υπόθεση (null hypothesis) δηλώνει ότι δεν υπάρχει διαφορά ή σχέση στα δεδομένα. Στα tests independence, H0 γράφεται ως «δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών». Σε goodness‑of‑fit, H0 λέει ότι τα data ακολουθούν την προτεινόμενη κατανομή.

Η εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothesis) είναι το αντίθετο: υπάρχει σχέση ή απόκλιση από την προτεινόμενη κατανομή. Αν τα στοιχεία δείξουν σημαντική απόκλιση, δεχόμαστε την alternative hypothesis αφού πρώτα συγκρίνουμε το στατιστικό με την κατανομή για τα df και το p‑value.

Τι σημαίνει reject null hypothesis και πότε αποτυγχάνουμε να απορρίψουμε

Όταν το p≤α, τότε reject null hypothesis — δηλαδή έχουμε αρκετά στοιχεία για να απορρίψουμε την H0. Αν p>α, αποτυγχάνουμε να απορρίψουμε τη H0. Αυτό όμως δεν αποδεικνύει ότι η H0 είναι αληθής. Σημαίνει απλώς ότι τα δεδομένα δεν παρέχουν επαρκή στοιχεία κατά του H0.

Το επίπεδο σημαντικότητας α καθορίζει το όριο απόφασης για το p‑value.
Η απόφαση εξαρτάται και από το μέγεθος δείγματος και την ισχύ, όχι μόνο από το p.
Προεγγραφή υποθέσεων και αποφυγή p‑hacking προστατεύουν την εγκυρότητα της analysis.

Σενάριο	H0 (null hypothesis)	H1 (alternative hypothesis)
Independence test	Δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ variables	Υπάρχει συσχέτιση μεταξύ variables
Goodness‑of‑fit	Τα data ακολουθούν την προτεινόμενη κατανομή	Τα data αποκλίνουν από την προτεινόμενη κατανομή
Γενική απόφαση	Δεν απορρίπτουμε H0 όταν p>α	Reject null hypothesis όταν p≤α

«Αποτυγχάνουμε να απορρίψουμε» δεν σημαίνει απόδειξη της H0 — σημαίνει ότι δεν έχουμε επαρκή στοιχεία εναντίον της.

Είδη χι-τεστ: Independence, Goodness-of-Fit και Homogeneity

Θα ξεκαθαρίσουμε πότε χρησιμοποιούμε κάθε τύπο ελέγχου για αναλύσεις με categories. Η σωστή επιλογή εξαρτάται από το ερώτημα: σχέση μεταξύ μεταβλητών, έλεγχος κατανομής ή σύγκριση ομάδων.

Chi-square test independence: δύο κατηγορικές μεταβλητές

Ο έλεγχος chi-square test independence αξιολογεί αν υπάρχει association ανάμεσα σε δύο μεταβλητές. Συνήθως δουλεύουμε με πίνακες RxC για να συγκρίνουμε observed vs expected σε δύο categorical variables.

Goodness-of-fit για μία μεταβλητή

Το Goodness-of-Fit εξετάζει αν οι συχνότητες μιας μόνο μεταβλητής ταιριάζουν με θεωρητικά ποσοστά. Είναι ιδανικό όταν θέλουμε να συγκρίνουμε observed counts με προτεινόμενη κατανομή (π.χ. equal probabilities για two categories).

Homogeneity: σύγκριση κατανομών σε ομάδες

H Homogeneity συγκρίνει αν οι ίδιες categories έχουν παρόμοια κατανομή σε διαφορετικές ομάδες, όπως πόλεις ή δείγματα. Η διαφορά από το test independence είναι η εστίαση σε ομοιογένεια κατανομών μεταξύ ομάδων.

Προϋποθέσεις: επαρκείς expected frequencies, ανεξαρτησία παρατηρήσεων, σωστός σχεδιασμός δειγματοληψίας.
Επιλογή τεστ: σχέση δύο variables → test independence. Έλεγχος κατανομής → goodness‑of‑fit. Σύγκριση ομάδων → homogeneity.

Στο επόμενο βήμα θα δείξουμε πρακτικά πώς υπολογίζουμε τα expected από τα ολικά και πώς προχωράμε στην απόφαση.

Το μονοπάτι How-To: Πώς εκτελούμε ένα chi-square test βήμα-βήμα

Εδώ δείχνουμε πώς οργανώνουμε τα δεδομένα και τι υπολογίζουμε σε κάθε βήμα του test. Στόχος μας είναι να περάσουμε από τη διατύπωση υποθέσεων στην τεκμηριωμένη απόφαση, με σαφήνεια και σύντομες επεξηγήσεις.

Ορισμός H0/H1 και επιλογή επιπέδου σημαντικότητας

Πρώτα ορίζουμε ξεκάθαρα την H0 και την H1 ανάλογα με το ερώτημα (independence, goodness‑of‑fit ή homogeneity). Θέτουμε το significance level, συνήθως α = 0.05.

Υπολογισμός expected frequencies από τα ολικά

Υπολογίζουμε τις αναμενόμενες συχνότητες E από τα περιθώρια του πίνακα με τον τύπο:

E_ij = (row total i × column total j) / grand total.

Ελέγχουμε ότι οι expected frequencies δεν παραβιάζουν τους κανόνες εγκυρότητας (π.χ. πολύ μικρές τιμές).

Υπολογισμός στατιστικού και degrees of freedom

Το στατιστικό υπολογίζεται με τη φόρμουλα Χ²=Σ((O−E)²/E), άθροισμα σε όλα τα κελιά. Για πίνακα R×C οι βαθμοί degrees freedom είναι (R−1)(C−1).

Σύγκριση με κρίσιμη τιμή ή p‑value για την απόφαση

Συγκρίνουμε το στατιστικό είτε με την κρίσιμη τιμή της κατανομής είτε προτιμότερα με το p‑value. Αν p ≤ α, reject H0 — αλλιώς αποτυγχάνουμε να την απορρίψουμε.

Τεκμηριώνουμε κάθε βήμα και αναφέρουμε τα totals, τα E και το τελικό statistic.
Πριν συμπεράνουμε ελέγχουμε υποθέσεις (ανεξαρτησία, επαρκείς expected frequencies).

Η σαφή διαδικασία εξασφαλίζει ότι τα αποτελέσματα του test είναι επαναλήψιμα και αξιόπιστα.

chi-square οδηγός για test independence με παράδειγμα

Παρουσιάζουμε ένα πρακτικό παράδειγμα για να δείξουμε πώς εφαρμόζουμε το test independence σε πραγματικά δεδομένα.

Παράδειγμα SPSS: Smoking × Gender

Δουλεύουμε με δύο categorical variables: Smoking (Nonsmoker, Past, Current) και Gender (Male, Female).

Στο SPSS: Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs. Επιλέγουμε Chi‑square και, αν θέλουμε, clustered bar charts για οπτικοποίηση.

Αποτέλεσμα και ερμηνεία

Ορίσαμε H0: η συμπεριφορά καπνίσματος είναι ανεξάρτητη του φύλου. H1: υπάρχει association.

Για τον πίνακα 3×2 οι βαθμοί ελευθερίας είναι (3−1)(2−1)=2. Ο Pearson Χ²=3.171 με df=2 και p=0.205.

Καμία αναμενόμενη συχνότητα δεν είναι κάτω από 5, οπότε η υπόθεση για expected counts ικανοποιείται.

Απόφαση (α=0.05): δεν απορρίπτουμε H0 — δεν ανιχνεύεται στατιστικά σημαντική συσχέτιση.
Η απουσία significance δεν σημαίνει ισοδυναμία· μπορεί να οφείλεται σε ισχύ ή μέγεθος δείγματος.
Προτείνουμε πίνακα με observed και expected counts και αναφορά effect size (π.χ. Cramér’s V).

Η απεικόνιση με clustered bar charts βοηθά στην κατανόηση της σχέσης μεταξύ των categories.

Πότε χρησιμοποιούμε το chi-square test και πότε όχι

Δεν όλα τα tests είναι κατάλληλα για κάθε dataset — ειδικά όταν έχουμε μικρά δείγματα ή σπάνιες κατηγορίες. Πριν προχωρήσουμε, ελέγχουμε αν τα δεδομένα και ο σχεδιασμός πληρούν τις βασικές προϋποθέσεις.

Κατάλληλα σενάρια

Χρησιμοποιούμε το chi-square test used σε εφαρμογές με counts σε categories. Συχνές χρήσεις είναι:

Έλεγχος προτιμήσεων πελατών ανά δημογραφικό (marketing).
Συσχέτιση συμπτωμάτων με διάγνωση στην υγεία.
Στάσεις ψηφοφόρων ανά κόμμα στην πολιτική ανάλυση.

Απαραίτητα: ανεξαρτησία παρατηρήσεων και σωστή δειγματοληψία.

Ακατάλληλα σενάρια

Το test used γίνεται αναξιόπιστο όταν πολλά κελιά έχουν χαμηλά expected counts. Σε πολύ μικρό sample το p‑value μπορεί να είναι παραπλανητικό.

Όταν πολλά E
Σε πολύ μικρά samples προτιμάμε Fisher’s exact ή άλλες μεθόδους.
Για συνεχή variables χρειάζονται διαφορετικά tests (π.χ. t‑test, ANOVA).

Πριν την ανάλυση, ελέγχουμε το σχέδιο δειγματοληψίας και τις αναμενόμενες συχνότητες για να αποφύγουμε μεθοδολογικά λάθη.

Προϋποθέσεις εγκυρότητας: expected frequencies, τυχαιοποίηση, ανεξαρτησία

Για να έχουμε αξιόπιστα συμπεράσματα, πρέπει πρώτα να επιβεβαιώσουμε μερικές κρίσιμες προϋποθέσεις. Ελέγχουμε την ανεξαρτησία των παρατηρήσεων, την τυχαιοποίηση στη δειγματοληψία και τις expected frequencies.

Η ανεξαρτησία σημαίνει ότι κάθε περίπτωση στο dataset δεν επηρεάζει τις άλλες. Αν υπάρχουν επαναλήψεις ή δειγματοληψία από την ίδια μονάδα, το αποτέλεσμα του test γίνεται αναξιόπιστο.

Η τυχαιοποίηση ή η αντιπροσωπευτικότητα αποφεύγει συστηματικές μεροληψίες. Χωρίς σωστό sampling, τα data μπορεί να δείχνουν σχέση που δεν υπάρχει στον πληθυσμό.

Πρακτικός κανόνας: κανένα κελί με expected frequencies κάτω από 5 — αλλιώς ελέγχουμε προσεκτικά.
Αν κάποιο κελί έχει πολύ μικρό E, συγχωνεύουμε categories ή αυξάνουμε το δείγμα.
Εναλλακτικά, τρέχουμε exact tests όταν τα E παραμένουν χαμηλά.

Θυμόμαστε ότι οι οριακοί αθροιστές (marginals) του table οδηγούν στον υπολογισμό των E. Καθαρή κωδικοποίηση κατηγοριών μειώνει μηδενικά ή σπάνια κελιά και βοηθά την αναλυτική ροή.

Ελέγχοντας τις υποθέσεις εξασφαλίζουμε ότι η σύγκριση μεταξύ observed και expected είναι έγκυρη και επαναλήψιμη.

Degrees of freedom, significance level και κατανομή chi-square

Η σχέση μεταξύ degrees freedom και του σχήματος της κατανομής καθορίζει πώς ερμηνεύουμε το αποτέλεσμα του test. Η ίδια τιμή του στατιστικού μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικό p‑value ανάλογα με τα degrees του πίνακα.

Για πίνακες R×C ο τύπος είναι df = (R−1)(C−1). Αυτοί οι βαθμοί δείχνουν πόσοι περιορισμοί υπάρχουν και καθορίζουν το shape της distribution.

Η κατανομή Χ² είναι δεξιόστροφα ασύμμετρη. Καθώς τα degrees αυξάνονται, το σχήμα γίνεται πιο συμμετρικό και πλησιάζει το normal. Αυτό σημαίνει ότι οι κρίσιμες τιμές αλλάζουν με τα degrees και, επομένως, αλλάζει και το πόσο «σκληρή» είναι η απόφαση του test.

Το p‑value είναι το εμβαδό στη δεξιά ουρά πέρα από την τιμή του στατιστικού — και όχι απλώς ένας αριθμός που συγκρίνουμε τυφλά.

Ρόλος p‑value: μετράει την πιθανότητα να δούμε τόσο ακραίο statistic υπό την H0.
significance level: το α (π.χ. 0.05) καθορίζει το όριο απόφασης.
Πρακτική συμβουλή: προτιμούμε την αναφορά p‑value αντί για χειροκίνητη σύγκριση με κρίσιμη τιμή — αυξάνει τη διαφάνεια.

Μέγεθος δείγματος και ισχύς: Cohen’s w, power, και σχεδιασμός

Το σωστό sample size καθορίζει αν οι αναλύσεις μας έχουν ρεαλιστική πιθανότητα να εντοπίσουν ουσιαστικά αποτελέσματα. Εμείς σχεδιάζουμε το μέγεθος με γνώμονα το επιθυμητό power, το α και το μέτρο του effect size.

Cohen’s w είναι το κοινό μέτρο effect size για κατηγορικά δεδομένα. Τυπικά όρια: 0.1 = μικρό, 0.3 = μεσαίο, 0.5 = μεγάλο. Η ισχύς (1−β) αυξάνει με μεγαλύτερο sample, μεγαλύτερο w και υψηλότερο α.

Για τους υπολογισμούς χρησιμοποιούμε τη μη κεντρική κατανομή: ncp = n·w². Αυτή η τιμή δείχνει πόσο μακριά μετατοπίζεται η κατανομή από την υπόθεση μηδέν και καθορίζει την πιθανότητα ανίχνευσης.

Effect size (w)	Προτεινόμενο n (df=1, power=0.80)	Προτεινόμενο n (df=2, power=0.80)	Σχόλιο
0.10 (μικρό)	≈785	≈900	Απαιτεί μεγάλο sample
0.30 (μεσαίο)	≈88	≈100	Πρακτικά εφικτό για πολλούς σχεδιασμούς
0.50 (μεγάλο)	≈32	≈40	Μικρότερο sample, εύκολη ανίχνευση

Χρησιμοποιούμε εργαλεία όπως το G*Power ή το online calculator για chi -square sample size (π.χ. https://hanif-shiny.shinyapps.io/chi-sq/) για να βρούμε τον απαιτούμενο αριθμό. Στην πράξη, ζυγίζουμε trade-offs μεταξύ εφικτότητας δειγματοληψίας και της ανάγκης να εντοπίσουμε ουσιαστικές διαφορές στα data.

Στο σχεδιασμό προεγγράφουμε συχνά στόχο power 0.80 και τεκμηριώνουμε την επιλογή του effect size.

Ερμηνεία p-value και λήψη απόφασης

Η απόφαση στη βάση των αποτελεσμάτων στηρίζεται σε έναν αριθμό: το p‑value. Εμείς συγκρίνουμε αυτόν τον αριθμό με το significance level που έχουμε ορίσει για το test.

Ορισμός: το p‑value είναι η πιθανότητα να παρατηρήσουμε ένα statistic τουλάχιστον τόσο ακραίο όσο αυτό που μετρήσαμε, αν η H0 είναι αληθής.

Ερμηνεία p≤0.05: πρόκειται για κανόνα απόφασης, όχι απόδειξη αιτιότητας. Αν p≤α, απορρίπτουμε την H0. Αν p>α, δεν την απορρίπτουμε — αυτό δεν αποδεικνύει ότι η H0 είναι αληθής.

Το p δεν μετράει το μέγεθος της επίδρασης· γι’ αυτό αναφέρουμε και effect size (π.χ. Cramér’s V).
Η ισχύς της ανάλυσης καθορίζει αν ένα μη σημαντικό p οφείλεται σε έλλειμμα δείγματος.
Συμβουλή: αναφέρετε πάντα το ακριβές p και, όταν είναι εφικτό, διαστήματα εμπιστοσύνης για τα effect sizes.

Στοιχείο	Τι δείχνει	Συμβουλή αναφοράς
p‑value	Πιθανότητα ως προς την H0	Ακριβής τιμή (π.χ. p=0.023)
significance level	Όριο απόφασης (π.χ. α=0.05)	Δηλώστε προεγγραφή ή επιλογή α
effect size	Μέγεθος συσχέτισης	Rapport με Cramér’s V + CI

Η διαφάνεια στην αναφορά των numbers και των assumptions βελτιώνει την αξιοπιστία της analysis.

Πώς αναφέρουμε αποτελέσματα: τι να γράψουμε σε report ή thesis

Όταν γράφουμε report ή thesis, οι αριθμοί χρειάζονται σαφή και αναπαραγώγιμη παρουσίαση. Στόχος μας είναι να δώσουμε στον αναγνώστη όλα τα στοιχεία ώστε να ελέγξει ή να αναπαράγει την analysis.

Πλήρης αναφορά: αναφέρουμε το statistic σε πρότυπη μορφή, π.χ. Χ²(df)=3.171, p=0.205, α=0.05 και την απόφαση (π.χ. «δεν απορρίπτουμε H0»).

Προσθέτουμε effect size, όπως Cramér’s V, και, όπου είναι δυνατό, διαστήματα εμπιστοσύνης για την πληρότητα των results.

Παραθέτουμε ρητά τις υποθέσεις H0/H1 και το ερευνητικό πλαίσιο πριν την παρουσίαση των δεδομένων.

Πίνακες και διαφάνεια

Συμπεριλαμβάνουμε έναν table με observed counts και expected counts. Αυτό αυξάνει τη διαφάνεια και επιτρέπει έλεγχο των προϋποθέσεων.

Σχόλιο για ουσιαστική vs στατιστική σημαντικότητα

Ακόμα και αν τα tests δείξουν μη σημαντικό p, δεν αποκλείουμε πρακτική σημασία. Εξηγούμε τον πιθανό πρακτικό αντίκτυπο των findings και περιορισμούς λόγω sample size ή μικρών categories.

Να δηλώνετε πάντα τις προϋποθέσεις: έλεγχοι expected counts, ανεξαρτησία και μέθοδο δειγματοληψίας.

Συνήθη λάθη και περιορισμοί των chi-square tests

Στην πράξη, αρκετά λάθη στη χρήση του Χ² προκύπτουν από κακό σχεδιασμό και παρερμηνείες. Εμείς πρέπει να βλέπουμε τα αποτελέσματα στο πλαίσιο του sample size και της ποιότητας των data.

Ευαισθησία στο μέγεθος δείγματος και παρερμηνείες

Μεγάλα δείγματα συχνά δείχνουν στατιστική σημαντικότητα σε πολύ μικρές διαφορές. Αυτό σημαίνει ότι ένα p μικρό δεν ισοδυναμεί πάντα με πρακτική σημασία.

Αντίθετα, μικρό sample μπορεί να κρύψει μια πραγματική association λόγω χαμηλής ισχύος. Γι’ αυτό αναφέρουμε πάντα effect size και confidence intervals.

Μικρές αναμενόμενες συχνότητες και εναλλακτικές

Χαμηλά expected frequencies υπονομεύουν την εγκυρότητα του test. Όταν πολλά κελιά είναι αραιά, προτείνουμε συγχώνευση κατηγοριών ή χρήση exact tests.

Fisher’s exact είναι κατάλληλη εναλλακτική, ιδίως για 2×2 πίνακες, όταν τα frequencies είναι μικρά.

Προσοχή: το test δείχνει συσχέτιση, όχι αιτιότητα — αποφεύγουμε αιτιοκρατικές ερμηνείες χωρίς πειραματικό σχεδιασμό.

Σφάλμα	Συνέπεια	Συμβουλή
Υπερβολικά μεγάλο sample	Στατιστικά σημαντικά αλλά ασήμαντα πρακτικά ευρήματα	Αναφέρετε effect size
Μικρό sample / αραιά κελιά	Χαμηλή ισχύς, παραπλανητικά p	Fisher’s exact ή συγχώνευση κατηγοριών
Πολλές κατηγορίες / skewed marginals	Παραβίαση προϋποθέσεων	Σχεδιασμός για μείωση υπερδιάσπασης

Εξειδικευμένες τεχνικές: Yates, Mantel-Haenszel, τάση κατά Cochran-Armitage

Σε αυτήν την ενότητα περιγράφουμε σύντομα τρεις προσαρμογές που βελτιώνουν την αξιοπιστία σε ειδικά σενάρια με κατηγορικές μεταβλητές.

Yates correction εφαρμόζεται σε 2×2 πίνακες για να μειώσει την υπερεκτίμηση του στατιστικού σε μικρά δείγματα. Η διόρθωση μειώνει το magnitude του statistic και συχνά αυξάνει το p‑value, κάνοντας το test πιο συντηρητικό.

Mantel–Haenszel συνδυάζει πίνακες από ξεχωριστά στρώματα για ελεγχόμενη εκτίμηση της σχέσης μεταξύ δύο variables. Χρησιμοποιούμε αυτήν την προσέγγιση όταν θέλουμε να ελέγξουμε confounding και να λάβουμε συνολικό value across strata.

Cochran‑Armitage trend test αξιοποιεί διατακτικές categories για να εντοπίσει μονοτονικές τάσεις. Είναι προτιμητέο όταν οι κατηγορίες έχουν φυσική σειρά και θέλουμε power για trend αντί για απλή συσχέτιση.

Πότε κάθε τεχνική είναι προτιμητέα; Yates για μικρούς 2×2 πίνακες, Mantel–Haenszel για στρωματοποιημένα δεδομένα με πιθανό confounder, και Cochran‑Armitage για ordered categories.

Αναφέρετε πάντα τα κριτήρια επιλογής και τις εναλλακτικές που δοκιμάστηκαν.
Σημειώστε περιορισμούς: υπερβολικά μικρά δείγματα ή παραβίαση υποθέσεων απαιτούν άλλες μεθόδους.

«Να τεκμηριώνουμε την επιλογή της τεχνικής και να παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα με σαφήνεια.»

Εργαλεία και λογισμικά: SPSS, R, Python, SAS, Excel

Για την ανάλυση κατηγορικών data επιλέγουμε πλατφόρμες που παράγουν σαφείς πίνακες και αξιόπιστα p‑values. Στόχος μας είναι να εκτελέσουμε το test, να ελέγξουμε τα expected counts και να παραδώσουμε καθαρές αναφορές.

SPSS: Crosstabs και οπτικοποίηση

Στο SPSS πηγαίνουμε Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs. Επιλέγουμε την επιλογή Chi‑square και, αν θέλουμε, clustered bar charts για οπτική παρουσίαση.

Στις επιλογές ζητάμε τον έλεγχο των expected frequencies και εμφανίζουμε το table με observed και expected counts.

R, Python και Excel — βασικά commands

Στο R τρέχουμε chisq.test() πάνω στον πίνακα συνάφειας για να πάρουμε statistic, df και p‑value.

Στην Python (SciPy) χρησιμοποιούμε chi2_contingency() που επιστρέφει το στατιστικό, το p‑value, τα degrees of freedom και τις expected συχνότητες.

Στο Excel η συνάρτηση CHISQ.TEST() υπολογίζει το p‑value από observed και expected ranges.

«Η παραγωγή πίνακα συνάφειας και p‑value είναι στάνταρ σε όλα τα εργαλεία — η διαφορά είναι στο reporting και στα plots.»

Πλατφόρμα	Εντολή / Διαδρομή	Εξαγόμενα	Σημειώσεις
SPSS	Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs	Observed/Expected tables, df, p‑value, charts	Εύκολα clustered bar charts
R	chisq.test()	statistic, df, p‑value, expected	Κατάλληλο για scripting και αναπαραγωγιμότητα
Python (SciPy)	chi2_contingency()	statistic, p‑value, df, expected	Ενσωμάτωση σε pipeline data science
Excel	CHISQ.TEST()	p‑value (απλή χρήση)	Γρήγορο, αλλά περιορισμένο reporting

Σε όλες τις πλατφόρμες προτείνουμε να ελέγχουμε τα expected counts πριν από την τελική απόφαση. Όταν κάποια κελιά έχουν μικρές τιμές, συγχωνεύουμε categories ή χρησιμοποιούμε exact tests.

Πίνακες συνάφειας και αναφορές για δύο κατηγορίες ή πολλές κατηγορίες

Μια απλή 2×2 διάταξη αρκεί για να αναδείξει association ανάμεσα σε δύο κατηγορίες, ενώ οι RxC πίνακες καλύπτουν πολύπλοκους συνδυασμούς με πολλές categories.

Εμείς δομούμε τον πίνακα ώστε κάθε γραμμή και στήλη να εκπροσωπεί σαφείς ετικέτες. Αυτό βοηθά τον αναγνώστη να διαβάσει τα περιθώρια και να ελέγξει totals χωρίς σύγχυση.

Για να υπολογίσουμε τα expected counts χρησιμοποιούμε τα ολικά κάθε γραμμής και στήλης. Αν κάποια κελία έχουν μικρό αριθμό, προγραμματίζουμε συγχώνευση categories πριν την ανάλυση.

Παρακάτω δίνουμε ένα παράδειγμα reporting που συνδυάζει observed, totals και expected σε προσεγμένο table. Αυτή η διάταξη διευκολύνει την τεκμηρίωση των υποθέσεων και την αναπαραγωγή των αποτελεσμάτων.

Category A \ B	B1 (Observed)	B2 (Observed)	Row total
A1 (Observed)	45	30	75
A2 (Observed)	25	20	45
Column total	70	50	120

Συντομεύουμε πάντα τις ετικέτες και δηλώνουμε εκ των προτέρων τις αποφάσεις συγχώνευσης για να αποφύγουμε post‑hoc χειρισμούς των data.

Χρειάζεστε βοήθεια με το Χ²; Επικοινωνία και δωρεάν κοστολόγηση

Αν επιθυμείτε υποστήριξη στον σχεδιασμό και την ανάλυση, είμαστε διαθέσιμοι για συμβουλευτική. Προσφέρουμε ολοκληρωμένη βοήθεια από τον καθορισμό των υποθέσεων μέχρι την παρουσίαση των αποτελεσμάτων.

Τηλέφωνο

2103002036

Email

info@panepistimiaka-frontistiria.gr

Δωρεάν Κοστολόγηση Εργασίας: https://panepistimiaka-frontistiria.gr/form/

Υπηρεσία	Τι περιλαμβάνει	Εκτίμηση χρόνου
Σχεδιασμός test	Formulation H0/H1, επιλογή variables, sample size	1–3 εργάσιμες
Ανάλυση data	SPSS/R/Python/Excel, έλεγχος προϋποθέσεων	2–5 εργάσιμες
Έκθεση & reporting	Χ²(df)=value, p=value, effect size, πίνακες	1–3 εργάσιμες

Συμπέρασμα

Συνοψίζουμε εδώ τα κύρια σημεία για να κλείσουμε με σαφήνεια τις εφαρμογές και τα όρια του Χ².

Το Χ² παραμένει βασικό εργαλείο για ανάλυση κατηγορικών data, με πυρήνα τη σύγκριση observed vs expected. Επιλέγουμε independence, goodness‑of‑fit ή homogeneity ανάλογα με το ερευνητικό ερώτημα και τις variables.

Η εγκυρότητα εξαρτάται από τις προϋποθέσεις: επαρκή expected counts, σωστό df και σωστή ερμηνεία του p‑value. Στο σχεδιασμό λαμβάνουμε υπόψη sample size, Cohen’s w και power για αξιόπιστα αποτελέσματα.

Τεκμηριώνουμε πάντα τα numbers, αναφέρουμε effect size και αποφεύγουμε κοινά λάθη. Για υποστήριξη ή απορίες: 2103002036 — info@panepistimiaka-frontistiria.gr. Δωρεάν κοστολόγηση: https://panepistimiaka-frontistiria.gr/form/

FAQ

Τι είναι το Χ² (Chi-square) και πότε το χρησιμοποιούμε;

Το Χ² είναι ένα στατιστικό τεστ που αξιολογεί αν υπάρχει σχέση μεταξύ δύο κατηγορικών μεταβλητών ή αν μια κατανομή ταιριάζει σε αναμενόμενο πρότυπο. Το χρησιμοποιούμε όταν τα δεδομένα είναι κατά κατηγορίες (π.χ. φύλο, επιλογή προϊόντος) και όταν οι αναμενόμενες συχνότητες σε κάθε κελί είναι κατά κανόνα αρκετά μεγάλες για εγκυρότητα.

Ποια είναι η απλή, διαισθητική διαφορά ανάμεσα σε παρατηρούμενες και αναμενόμενες συχνότητες;

Παρατηρούμενες είναι οι πραγματικές μετρήσεις που καταγράψαμε. Αναμενόμενες είναι οι συχνότητες που περιμέναμε υπό την μηδενική υπόθεση (H0) — δηλαδή αν δεν υπάρχει σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Το Χ² μετράει πόσο αποκλίνουν οι παρατηρήσεις από τις προσδοκίες.

Πότε θεωρούμε δεδομένα «κατηγορικά» και γιατί δεν εφαρμοζόμαστε σε κανονικές υποθέσεις;

Κατηγορικά είναι τα δεδομένα που ταξινομούνται σε ομάδες χωρίς αριθμητική συνέχεια (π.χ. ομάδα αίματος, προτίμηση). Δεν απαιτούν κανονική κατανομή, γιατί εξετάζουμε συχνότητες/ποσότητες και όχι μέσους όρους με συνεχή μεταβλητή.

Τι είναι η μηδενική υπόθεση (H0) και η εναλλακτική υπόθεση (H1) σε ένα τεστ Χ²;

Η H0 δηλώνει ότι δεν υπάρχει σχέση ή διαφορά μεταξύ των κατηγοριών (ανεξαρτησία ή ταιριαστή κατανομή). Η H1 δηλώνει ότι υπάρχει σχέση ή απόκλιση από την αναμενόμενη κατανομή.

Τι σημαίνει «reject null hypothesis» και πότε δεν απορρίπτουμε;

«Απορρίπτουμε τη H0» σημαίνει ότι τα δεδομένα δίνουν αρκετή απόδειξη για σχέση μεταξύ μεταβλητών (έστω σε επίπεδο σημαντικότητας α). Δεν απορρίπτουμε όταν το p-value είναι μεγαλύτερο από α, δηλαδή οι αποκλίσεις δεν είναι στατιστικά σημαντικές.

Ποια είδη τεστ υπάρχουν και πότε τα χρησιμοποιούμε;

Υπάρχουν το τεστ ανεξαρτησίας (test independence) για δύο κατηγορικές μεταβλητές, το Goodness-of-Fit για να ελέγξουμε αν μία κατανομή ταιριάζει σε αναμενόμενο πρότυπο, και το Homogeneity για σύγκριση κατανομών σε διαφορετικές ομάδες ή περιοχές.

Ποια είναι τα βήματα για να εκτελέσουμε σωστά ένα τεστ Χ²;

Ορίζουμε H0/H1 και επίπεδο σημαντικότητας, υπολογίζουμε τις αναμενόμενες συχνότητες από τα ολικά, υπολογίζουμε το στατιστικό (άθροισμα (O−E)²/E), βρίσκουμε τα degrees of freedom, και συγκρίνουμε με το critical value ή το p-value για απόφαση.

Υπάρχει πρακτικό παράδειγμα για test independence;

Σε έναν πίνακα αναφοράς Smoking × Gender, με df=(3−1)(2−1)=2, αν υπολογίσουμε Χ²=3.171 και p=0.205, δεν απορρίπτουμε τη H0 — δηλαδή δεν βρήκαμε στατιστική σχέση μεταξύ καπνίσματος και φύλου στο δείγμα.

Πότε είναι κατάλληλο και πότε ακατάλληλο να χρησιμοποιήσουμε αυτό το τεστ;

Κατάλληλο για έρευνες αγοράς, πολιτικές δημοσκοπήσεις ή ιατρικές μελέτες με κατηγορικά δεδομένα. Ακατάλληλο όταν οι αναμενόμενες συχνότητες είναι πολύ μικρές ή το δείγμα είναι πολύ μικρό — εκεί προτιμάμε, για παράδειγμα, το Fisher’s exact.

Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται για αξιόπιστα αποτελέσματα;

Οι βασικές προϋποθέσεις είναι ικανοποιητικές αναμενόμενες συχνότητες σε κάθε κελί (συνήθως >5 ή μικρή επιτρεπτή αναλογία κελιών με χαμηλές τιμές), τυχαιοποίηση δείγματος και ανεξαρτησία παρατηρήσεων.

Τι είναι τα degrees of freedom και πώς επηρεάζουν την κατανομή;

Τα degrees of freedom (df) καθορίζονται από το μέγεθος του πίνακα (π.χ. (r−1)(c−1)). Όσο αυξάνονται τα df, το σχήμα της κατανομής γίνεται πιο συμμετρικό και πλησιάζει την κανονική για μεγάλα df.

Πώς σχετίζονται μέγεθος δείγματος και ισχύς (power) σε αυτά τα τεστ;

Η ισχύς (power = 1−β) εξαρτάται από μέγεθος δείγματος, μέγεθος επίδρασης (Cohen’s w: 0.1 μικρό, 0.3 μεσαίο, 0.5 μεγάλο) και επίπεδο σημαντικότητας. Για σχεδιασμό δείγματος χρησιμοποιούμε G*Power ή online calculators, και λαμβάνουμε υπόψη τη μη κεντρική παράμετρο ncp = n·w².

Τι σημαίνει το p-value και πώς παίρνουμε απόφαση;

Το p-value είναι η πιθανότητα να δούμε τόσο ακραίο ή πιο ακραίο αποτέλεσμα αν η H0 είναι αληθινή. Αν p≤α (συνήθως 0.05) απορρίπτουμε τη H0. Αυτό δεν αποδεικνύει αιτιότητα· δείχνει μόνο στατιστική συσχέτιση.

Πώς πρέπει να αναφέρουμε τα αποτελέσματα σε report ή διπλωματική;

Αναφέρουμε πλήρως: Χ²(df)=τιμή, p=τιμή, μέγεθος επίδρασης (π.χ. Cramer’s V), σύνοψη της απόφασης, πίνακα παρατηρούμενων και αναμενόμενων συχνοτήτων και σχόλιο για ουσιαστική έναντι στατιστικής σημασίας.

Ποια είναι τα συνήθη λάθη και περιορισμοί που βλέπουμε;

Συνηθισμένα λάθη είναι η παρερμηνεία αιτιότητας από συσχέτιση, η ευαισθησία στο μέγεθος δείγματος (πολύ μεγάλα δείγματα δίνουν σημαντικά αλλά ασήμαντα ουσιαστικά αποτελέσματα) και η χρήση του τεστ με πολύ μικρές αναμενόμενες συχνότητες.

Υπάρχουν εξειδικευμένες τεχνικές όταν χρειάζονται προσαρμογές;

Ναι — Yates correction για 2×2 πίνακες, Mantel–Haenszel για στρωματοποιημένες αναλύσεις και Cochran–Armitage για τάσεις σε διχοτομημένες κατηγορίες. Επιλέγουμε ανάλογα με το πρόβλημά μας.

Ποια εργαλεία και λογισμικά διευκολύνουν την ανάλυση;

Χρησιμοποιούμε SPSS (Crosstabs), R (chisq.test()), Python SciPy (chi2_contingency), SAS και Excel (CHISQ.TEST). Για οπτικοποίηση προτιμούμε clustered bar charts και heatmaps για πίνακες συνάφειας.

Τι να κάνουμε όταν έχουμε δύο ή πολλές κατηγορίες σε πίνακες συνάφειας;

Χρησιμοποιούμε πίνακες πολλαπλών σειρών/στηλών, υπολογίζουμε αναμενόμενες συχνότητες για κάθε κελί και ελέγχουμε df ανάλογα. Αν υπάρχουν πολλά κελιά με μικρές τιμές, σκεφτόμαστε συγχώνευση κατηγοριών ή εναλλακτικές μεθόδους.

Πού απευθυνόμαστε αν χρειαζόμαστε βοήθεια ή κοστολόγηση;

Μπορούμε να επικοινωνήσουμε με το κέντρο που αναφέρεται: Τηλ. 2103002036 ή Email: info@panepistimiaka-frontistiria.gr. Υπάρχει επίσης φόρμα για δωρεάν κοστολόγηση στη διεύθυνση https://panepistimiaka-frontistiria.gr/form/.